Sinais de uma fração

Uma fração é negativa exatamente quando o numerador e o denominador têm sinais opostos: um positivo dividido por um negativo, ou um negativo dividido por um positivo. Considere $\frac{x-2}{x+5} < 0$. Você não pode multiplicar ambos os lados por $x+5$ como faria com um número, porque o sinal dele é desconhecido, e multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade.

Então, separe em casos de acordo com os sinais. Ou $x-2 > 0$ e $x+5 < 0$, ou $x-2 < 0$ e $x+5 > 0$. O primeiro caso exige que x seja maior que 2 e menor que -5 ao mesmo tempo. Nenhum número satisfaz ambas as condições, então esse caso é vazio. O segundo exige que x seja menor que 2 e maior que -5, ou seja, $-5 < x < 2$.

Teste um número para ter certeza. x = 0 resulta em -2 sobre 5, que é negativo, então pertence. x = 3 resulta em 1 sobre 8, positivo, então não pertence. A resposta fica entre -5 e 2, os dois números em que o numerador ou o denominador é 0.