Potências de quarta ordem
Parte da seção Polinômios e Expressões Racionais do Journey de Algebra 2 da Coddy. Lição 20 de 54.
x^4 - 17x^2 + 16 = 0 parece uma equação difícil de quarto grau, mas ela só contém x^4 e x^2, e x^4 é (x^2)^2. Leia x^2 como uma única incógnita, e a equação é do segundo grau: essa incógnita ao quadrado, menos 17 vezes ela, mais 16. Dois números cujo produto é 16 e cuja soma é -17 são -1 e -16, então a expressão se fatora como (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.
Cada parêntese é uma diferença de quadrados, então o lado esquerdo se decompõe em quatro fatores: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). Separando em casos, você obtém quatro respostas: 1, -1, 4 e -4. Uma equação de quarto grau tem no máximo quatro soluções, e esta tem todas elas.
Nem todo fator entre parênteses fornece soluções reais. x^4 - 21x^2 - 100 = 0 se fatora como (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0, e x^2 = -4 não tem solução real, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. As únicas soluções reais são 5 e -5.
Desafio
Resolva x^4 - 13x^2 + 36 = 0. Encontre as quatro soluções.
Experimente você mesmo
Isole x
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1Divisão longa de polinômios
Como funciona a divisão longaUm termo de cada vezUm resto que sobraUm termo ausenteDividindo por um polinômio quadráticoRevisão: divisão longa4Equações polinomiais
Fator comum primeiroAgrupamento para resolverPotências de quarta ordemRevisão: equações polinomiais2Restos e Fatores
O Teorema do RestoO Teorema do FatorEncontrando um Número que FaltaUsando um Fator ConhecidoRevisão: Restos e Fatores5Quadros de sinais
Entre as raízesFora das raízesUm termo líder negativoInterpretando um quadro de sinaisRevisão: quadros de sinais