Potências de quarta ordem

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ parece uma equação difícil de quarto grau, mas ela só contém ${x}^{4}$ e ${x}^{2}$, e ${x}^{4}$ é ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Leia ${x}^{2}$ como uma única incógnita, e a equação é do segundo grau: essa incógnita ao quadrado, menos 17 vezes ela, mais 16. Dois números cujo produto é 16 e cuja soma é -17 são -1 e -16, então a expressão se fatora como $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Cada parêntese é uma diferença de quadrados, então o lado esquerdo se decompõe em quatro fatores: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Separando em casos, você obtém quatro respostas: 1, -1, 4 e -4. Uma equação de quarto grau tem no máximo quatro soluções, e esta tem todas elas.

Nem todo fator entre parênteses fornece soluções reais. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ se fatora como $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, e ${x}^{2} = -4$ não tem solução real, pois o quadrado de um número real nunca é negativo. As únicas soluções reais são 5 e -5.