Um termo líder negativo

Em $-{x}^{2}-x+12 > 0$, o termo ao quadrado tem um sinal de menos na frente. A fatoração mantém esse sinal de menos fora dos parênteses: $-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$. O sinal de menos multiplica o produto por -1, então, para que a expressão toda seja positiva, o produto $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ precisa ser negativo.

Então, o quadro se inverte. Sem o sinal de menos, esse produto é positivo fora das raízes; com ele, a expressão é positiva entre elas. Os fatores precisam ter sinais opostos: $x+4 > 0$ e $x-3 < 0$ resultam em $-4 < x < 3$, e o outro caso, em que x é menor que -4 e maior que 3 ao mesmo tempo, é vazio.

O gráfico confirma. Um termo quadrático negativo faz a parábola abrir para baixo, então ela fica acima do eixo x apenas entre suas raízes. Multiplicar os dois lados por -1 primeiro também funciona, desde que você inverta o sinal: $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$.