Diferença de cubos

${x}^{3}-64$ não tem pares para agrupar, mas tem um padrão: ${x}^{3}$ é x ao cubo e 64 é 4 ao cubo. Qualquer diferença entre dois cubos é fatorada da mesma maneira:

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

Com a = x e b = 4, isso resulta em ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. Desenvolva para ver por que funciona: x vezes o fator entre parênteses é ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$, e -4 vezes esse fator é $-4{x}^{2}-16x-64$. Os termos do meio se cancelam, restando ${x}^{3}-64$.

O fator quadrático ${x}^{2}+4x+16$ não tem fatores reais: seu discriminante, 16 - 64, é negativo, então suas duas raízes são complexas. Isso faz de 4 a única raiz real de ${x}^{3}-64$. Aprenda os cubos 1, 8, 27, 64 e 125 para conseguir identificar o padrão.