Produits en croix

Dans une proportion $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, multipliez de part et d’autre du signe égal : le numérateur de gauche par le dénominateur de droite, et le dénominateur de gauche par le numérateur de droite. Ces produits en croix sont toujours égaux : $a\cdot d = b\cdot c$. Dans $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, les produits en croix sont 3 · 12 et 4 · 9, et ils valent tous deux 36.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ? Donnez aux deux fractions le même dénominateur : 4 · 12 = 48. Alors $\frac{3}{4}$ vaut 36 sur 48, et $\frac{9}{12}$ vaut également 36 sur 48. Les nouveaux numérateurs correspondent exactement aux produits en croix, 3 · 12 et 9 · 4. Des fractions égales ayant le même dénominateur doivent avoir le même numérateur ; les produits en croix sont donc égaux.

Cela fait des produits en croix un moyen rapide de vérifier si deux rapports sont égaux, sans simplification. Est-ce que $\frac{4}{6}$ et $\frac{10}{15}$ sont égaux ? 4 · 15 = 60 et 6 · 10 = 60, donc oui. Et $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{7}$ ? 3 · 7 = 21, mais 4 · 5 = 20, donc non.