Nombres décimaux périodiques

Divise 1 par 3. 10 divisé par 3 donne 3, reste 1. Abaisse un zéro : 10 divisé par 3 donne 3, reste 1, encore une fois. Le même reste revient sans cesse, donc le même chiffre aussi, à l’infini : $\frac{1}{3}$ vaut 0.333... C’est un nombre décimal périodique.

Au lieu de points, on trace une barre au-dessus des chiffres qui se répètent : $0.\overline{3}$ signifie que le 3 se répète à l’infini, et $0.\overline{09}$ signifie que la paire 09 se répète. Dans $0.1\overline{6}$, qui vaut $\frac{1}{6}$, seul le 6 se répète, donc la barre est placée au-dessus du 6 uniquement.

Quelles fractions ont un développement décimal périodique ? Nos décimales comptent en dizaines, et 10 est $2\cdot 5$. Une fraction irréductible a un développement décimal qui s’arrête lorsque son dénominateur ne contient pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5, comme 4, 8, 20 ou 25. Tout autre facteur premier, tel que 3, 7 ou 11, rend le développement décimal périodique.