Nombres décimaux périodiques

Divise 1 par 3. 10 divisé par 3 donne 3, reste 1. Abaisse un zéro : 10 divisé par 3 donne 3, reste 1, encore une fois. Le même reste revient sans cesse, donc le même chiffre aussi, à l’infini : 1/3 vaut 0.333... C’est un nombre décimal périodique.

Au lieu de points, on trace une barre au-dessus des chiffres qui se répètent : 0.333... signifie que le 3 se répète à l’infini, et 0.0909... signifie que la paire 09 se répète. Dans 0.1666..., qui vaut 1/6, seul le 6 se répète, donc la barre est placée au-dessus du 6 uniquement.

Quelles fractions ont un développement décimal périodique ? Nos décimales comptent en dizaines, et 10 est 2 × 5. Une fraction irréductible a un développement décimal qui s’arrête lorsque son dénominateur ne contient pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5, comme 4, 8, 20 ou 25. Tout autre facteur premier, tel que 3, 7 ou 11, rend le développement décimal périodique.