최대 넓이

직사각형의 둘레를 모두 둘러싸는 데 울타리 40미터가 있습니다. 너비가 w라면 너비 두 개와 길이 두 개의 합이 40이므로, 너비 하나와 길이 하나의 합은 20입니다. 길이는 20 - w이고, 넓이는 A(w) = w(20 - w)입니다.

어떤 너비일 때 공간이 가장 넓을까요? 식을 전개하면 A(w) = -w^2 + 20w입니다. 아래로 열린 포물선이므로 꼭짓점에서 넓이가 가장 큽니다. 근은 w = 0과 w = 20이며, 이때 직사각형은 납작해져 넓이가 없습니다. 꼭짓점은 두 근의 중간인 w = 10에 있고, A(10) = 10(10)이므로 넓이는 100제곱미터입니다.

가장 좋은 직사각형은 가로와 세로가 각각 10인 정사각형입니다. 이것은 우연이 아닙니다. 울타리의 길이가 정해져 있을 때 정사각형은 항상 모든 직사각형 중 가장 넓은 면적을 둘러쌉니다.