합을 곱으로

곱을 합으로 바꾸는 공식을 거꾸로 읽으면, 각의 반합과 반차를 사용하여 합이 곱이 됩니다:

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$의 경우, 반합은 3x이고 반차는 2x이므로 $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$입니다.

이것은 음높이가 거의 같은 두 음이 함께 들리는 방식입니다. 두 음의 합은 평균 음높이의 빠른 파동에 음높이 차이의 절반에 해당하는 느린 파동이 곱해진 형태입니다. 소리의 크기는 느린 파동의 크기를 따르며, 느린 파동은 한 주기마다 두 번 최고점에 도달하므로 들리는 맥놀이가 전체 음높이 차이의 주기로 반복됩니다. 440 Hz와 442 Hz의 음은 초당 두 번 맥놀이합니다.