Sie funktioniert immer
Teil des Abschnitts Faktorisieren und quadratische Gleichungen der Algebra-Journey von Coddy. Lektion 51 von 63.
Die quadratische Gleichung x^2 + 3x + 1 = 0 kann nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden. Kein Paar ganzer Zahlen hat das Produkt 1 und die Summe 3. Die Mitternachtsformel funktioniert trotzdem. Sie ergibt x = (-3 ± √5) / 2.
Die Diskriminante ist 5, was keine Quadratzahl ist. Daher bleibt die Quadratwurzel als √5 erhalten, wie im Kapitel über Quadratwurzeln. Die beiden Lösungen sind exakte Zahlen, und die Formel hat sie gefunden, obwohl eine Faktorisierung nicht möglich war.
Die quadratische Formel funktioniert auch dann, wenn sich eine quadratische Gleichung nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt. Wenn die Koeffizienten ganze Zahlen sind, liefert eine Diskriminante, die ein perfektes Quadrat ist, Lösungen, die ganze Zahlen oder Brüche sind. Eine positive Diskriminante, die kein perfektes Quadrat ist, liefert Lösungen mit einem Quadratwurzelzeichen. Die quadratische Ergänzung ist eine weitere Möglichkeit, dieselben Lösungen zu finden.
Aufgabe
SchwerLöse x^2 + 5x + 2 = 0 exakt. Die Antwort enthält ein Quadratwurzelzeichen. Verwende die Mitternachtsformel, nicht das Faktorisieren.
Probier es selbst
x isolieren
Teste dich selbstDiese Lektion enthält ein kurzes Quiz. Starte die Lektion, um es zu beantworten und deinen Fortschritt zu speichern.
Alle Lektionen in Faktorisieren und quadratische Gleichungen
1Was Faktorisieren ist
Zwei RichtungenDer RückwärtsgangBuchstaben wieder ausklammernDie Probe ist die MultiplikationRückblick: Erste Faktoren4Minuszeichen in der Maschine
Ein negatives ProduktWer bekommt das Minuszeichen?Beide negativDie VorzeichenkarteRückblick: Vorzeichen7Die Nullproduktregel
Ein Produkt, das null ergibtEin Faktor genügtDas reine XJeder Faktor kommt dranRückblick: Nullprodukt10Die quadratische Lösungsformel
Die Formel, aufgeschriebenDie Zahl unter der WurzelPlus und Minus aufteilenSie funktioniert immerEine Methode auswählenRückblick: Die Formel2Der größte gemeinsame Faktor
Zahl und Buchstabe zusammenDer GrößteHöhere PotenzenDrei Terme teilen sich auchWiederholung: Der GGF5Besondere Formen
Eine fehlende MitteDie Form in BuchstabenDas perfekte QuadratDie MinusversionPrim-PolynomeRückblick: Besondere Formen3Die Summe-Produkt-Maschine
Das Produkt lesenDas Paar suchenDie Maschine mit BuchstabenLängere SuchenRückblick: Die Maschine6Vollständig faktorisieren
Zwei EbenenQuadrate im InnerenVollständig heißt vollständigDie gründliche PrüfungRückblick: Vollständig faktorisieren