Sie funktioniert immer

Die quadratische Gleichung $x^{2}+3x+1 = 0$ kann nicht mit ganzen Zahlen faktorisiert werden. Kein Paar ganzer Zahlen hat das Produkt 1 und die Summe 3. Die Mitternachtsformel funktioniert trotzdem. Sie ergibt $x = \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$.

Die Diskriminante ist 5, was keine Quadratzahl ist. Daher bleibt die Quadratwurzel als $\sqrt{5}$ erhalten, wie im Kapitel über Quadratwurzeln. Die beiden Lösungen sind exakte Zahlen, und die Formel hat sie gefunden, obwohl eine Faktorisierung nicht möglich war.

Die quadratische Formel funktioniert auch dann, wenn sich eine quadratische Gleichung nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren lässt. Wenn die Koeffizienten ganze Zahlen sind, liefert eine Diskriminante, die ein perfektes Quadrat ist, Lösungen, die ganze Zahlen oder Brüche sind. Eine positive Diskriminante, die kein perfektes Quadrat ist, liefert Lösungen mit einem Quadratwurzelzeichen. Die quadratische Ergänzung ist eine weitere Möglichkeit, dieselben Lösungen zu finden.