Das perfekte Quadrat

Um $x^{2}+6x+9$ zu faktorisieren, brauchst du ein Zahlenpaar mit dem Produkt 9 und der Summe 6. Das Zahlenpaar ist 3 und 3. Die beiden Faktoren sind gleich, also gilt $\left(x+3\right)\left(x+3\right) = \left(x+3\right)^{2}$. Ein Trinom, das sich wie hier in ein Quadrat faktorisieren lässt, wird vollständiges Quadrat eines Trinoms genannt.

Für ein normiertes Trinom gibt es einen schnellen Test. Nimm die Hälfte des mittleren Koeffizienten und quadriere sie. Wenn das Ergebnis dem konstanten Term entspricht, ist das Trinom ein vollständiges Quadrat. Hier ist die Hälfte von 6 gleich 3, und $3^{2} = 9$, also gilt $x^{2}+6x+9 = \left(x+3\right)^{2}$.

Im letzten Abschnitt hast du $\left(a+b\right)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ausmultipliziert. Das Faktorisieren eines vollständigen quadratischen Terms verwendet dieselbe Regel rückwärts. Der mittlere Term ist $2ab$, also ist die Hälfte davon $ab$. Die Konstante ist $b^{2}$. Suche nach diesem Muster: ein Quadrat, dann das Doppelte eines Produkts, dann ein Quadrat. Wenn du es siehst, ist das Trinom $\left(a+b\right)^{2}$.