Die doppelte Nullstelle

Wenn die Diskriminante null ist, hat die Gleichung eine Lösung. Betrachte $x^{2}-4x+4 = 0$. Die linke Seite ist ein vollständiges quadratisches Trinom, daher kannst du sie als $\left(x-2\right)^{2} = 0$ schreiben. Ein Quadrat ist nur dann null, wenn die Zahl, die quadriert wird, null ist, also gilt $x-2 = 0$ und $x = 2$. Es gibt eine Lösung.

Du kannst die linke Seite auch als $\left(x-2\right)\left(x-2\right) = 0$ faktorisieren. Beide Faktoren ergeben dieselbe Gleichung, $x-2 = 0$, daher liefern beide dieselbe Lösung. Eine Lösung, die aus zwei gleichen Faktoren entsteht, wird als doppelte Nullstelle bezeichnet. Die doppelte Nullstelle dieser Gleichung ist 2.

Die Diskriminante von $x^{2}-4x+4 = 0$ ist ebenfalls null. Hier ist $b^{2}$ gleich 16 und $4ac$ gleich 16, daher ist die Diskriminante $16-16 = 0$. Da sie null ist, ergeben das Plus und das Minus in der quadratischen Lösungsformel denselben Wert, $x = 2$. Die Formel, die Faktorisierung und die quadrierte Form stimmen alle darin überein, dass die Gleichung eine Lösung hat.