誤った解

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}+4$を解きましょう。両辺に$x-1$を掛けると、$x+1 = 2+4\left(x-1\right)$になります。展開すると、$x+1 = 4x-2$となるので、3x は 3、x は 1 です。ここで、元の式に 1 を代入してみましょう。$x-1$は 0 になり、0 で割ることはできません。x = 1 は、そもそも解ではありません。

なぜこうなったのでしょうか。x = 1 のとき、$x-1$を掛けるということは、両辺に 0 を掛けることを意味し、そうするとどんな二つの式も等しくなります。そのため、新しい方程式には、元の方程式には決してなかった解が生じます。このような答えは余分な解と呼ばれます。これは、計算によって導かれたものの、元の方程式には認められない誤った答えです。

x = 1 は除外され、ほかに残るものがないため、この方程式には解がありません。これは正しい最終的な答えであり、失敗ではありません。