誤った解

(x + 1)/(x - 1) = 2/(x - 1) + 4を解きましょう。両辺にx - 1を掛けると、x + 1 = 2 + 4(x - 1)になります。展開すると、x + 1 = 4x - 2となるので、3x は 3、x は 1 です。ここで、元の式に 1 を代入してみましょう。x - 1は 0 になり、0 で割ることはできません。x = 1 は、そもそも解ではありません。

なぜこうなったのでしょうか。x = 1 のとき、x - 1を掛けるということは、両辺に 0 を掛けることを意味し、そうするとどんな二つの式も等しくなります。そのため、新しい方程式には、元の方程式には決してなかった解が生じます。このような答えは余分な解と呼ばれます。これは、計算によって導かれたものの、元の方程式には認められない誤った答えです。

x = 1 は除外され、ほかに残るものがないため、この方程式には解がありません。これは正しい最終的な答えであり、失敗ではありません。