因数の約分

有理式とは、分子と分母が多項式である分数のことで、たとえば$\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$のようなものです。$\frac{6}{9}$を簡単にするのと同じように、分子と分母に共通する因数を見つけて約分します。まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。分子は平方の差なので$\left(x+5\right)\left(x-5\right)$となり、分母は積が-10、和が3になる2つの数を使うので、$\left(x+5\right)\left(x-2\right)$となります。

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 は分子と分母の両方にあり、$\frac{x+5}{x+5}$ は x + 5 が 0 でないときは常に 1 なので、約分すると $\frac{x-5}{x-2}$ が残ります。約分できるのは因数だけで、項は決して約分できません。$\frac{x+6}{x+3}$ では、x を消して $\frac{6}{3}$（これは 2）にしたくなるかもしれません。しかし x = 3 のとき、分数は $\frac{9}{6}$ で、これは 3/2 です。ここでの x は掛けられているのではなく足されているので、分子全体や分母全体の因数ではありません。

だからこそ、まず因数分解をします。何がすべてに掛けられているのかが分かるからです。共通する因数がなければ、その分数はすでにこれ以上簡単にできません。