因数の約分

有理式とは、分子と分母が多項式である分数のことで、たとえば(x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10)のようなものです。6/9を簡単にするのと同じように、分子と分母に共通する因数を見つけて約分します。まず、分子と分母をそれぞれ因数分解します。分子は平方の差なので(x + 5)(x - 5)となり、分母は積が-10、和が3になる2つの数を使うので、(x + 5)(x - 2)となります。

((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))

x + 5 は分子と分母の両方にあり、(x + 5)/(x + 5) は x + 5 が 0 でないときは常に 1 なので、約分すると (x - 5)/(x - 2) が残ります。約分できるのは因数だけで、項は決して約分できません。(x + 6)/(x + 3) では、x を消して 6/3（これは 2）にしたくなるかもしれません。しかし x = 3 のとき、分数は 9/6 で、これは 3/2 です。ここでの x は掛けられているのではなく足されているので、分子全体や分母全体の因数ではありません。

だからこそ、まず因数分解をします。何がすべてに掛けられているのかが分かるからです。共通する因数がなければ、その分数はすでにこれ以上簡単にできません。