先頭係数が負の場合

$-{x}^{2}-x+12 > 0$では、二乗の項の前にマイナスが付いています。因数分解すると、そのマイナスは括弧の外に残ります：$-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$。マイナスは積に -1 を掛けるので、式全体が正になるには、積 $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ は負でなければなりません。

つまり、符号の様子が反転します。マイナスがなければ、この積は根の外側で正になりますが、マイナスがあると、式は根の間で正になります。因数の符号は反対である必要があります：$x+4 > 0$かつ$x-3 < 0$なら$-4 < x < 3$となり、もう一方のケースである、x が同時に -4 より小さく、かつ 3 より大きい場合は、解がありません。

グラフも一致しています。二乗項の係数が負だと放物線は下向きに開くため、根の間だけ x 軸より上にあります。先に両辺に -1 を掛けても構いませんが、不等号の向きを反転させてください： $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$。