グループ分けして解く

3次式に4つの項があり、すべてに共通する因数がない場合は、グループ分けを試してみましょう。x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0を見てみましょう。最初の2つの項にはx^2が共通し、最後の2つの項には-9が共通しているので、左辺はx^2(x - 3) - 9(x - 3)となります。ここで、x - 3は共通因数です。(x - 3)(x^2 - 9) = 0です。括弧内のx^2 - 9は平方の差なので、方程式全体は(x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0となります。

場合分けすると、3、次に -3、そして再び 3 になります。因数 x - 3 が2回現れるので、3 は重解です。答えでは1回だけ数えるため、解は 3 と -3 です。答えは数の集合であり、いくつの因数がその数を指していても、集合にはそれぞれの数が1回だけ含まれます。グラフでは、ここでの 3 のように偶数回重複する根では、曲線は x 軸に触れて折り返します。奇数回重複する根では交差します。(x - 1)^3 は 1 で交差します。