グループ分けして解く

3次式に4つの項があり、すべてに共通する因数がない場合は、グループ分けを試してみましょう。${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$を見てみましょう。最初の2つの項には${x}^{2}$が共通し、最後の2つの項には-9が共通しているので、左辺は${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$となります。ここで、x - 3は共通因数です。$\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$です。括弧内の${x}^{2}-9$は平方の差なので、方程式全体は$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$となります。

場合分けすると、3、次に -3、そして再び 3 になります。因数 x - 3 が2回現れるので、3 は重解です。答えでは1回だけ数えるため、解は 3 と -3 です。答えは数の集合であり、いくつの因数がその数を指していても、集合にはそれぞれの数が1回だけ含まれます。グラフでは、ここでの 3 のように偶数回重複する根では、曲線は x 軸に触れて折り返します。奇数回重複する根では交差します。${\left(x-1\right)}^{3}$ は 1 で交差します。