筆算除法の仕組み

数の筆算での割り算は、すでに知っています。97を4で割るには、9を割って4で2を得て、2に4を掛けて8を得て、引いて1を残し、次に7を下ろして17にします。繰り返します。17を4で割ると4、4かける4は16、17から16を引くと1が残ります。下ろす数はもうないので、商は24、余りは1です。

多項式も同じ方法で割りますが、数字の代わりに項を使います。x^2 + 3x + 5をx + 1で割るには、先頭の項を割ります。x^2をxで割るとxです。掛けると、x(x + 1)はx^2 + xです。これをx^2 + 3xから引くと2xが残り、5を下ろして2x + 5にします。繰り返します。2xをxで割ると2、2(x + 1)は2x + 2で、引くと3が残ります。

残った式の次数が除数より低くなったら終了です。3にはxがありませんが、x + 1にはxがあります。答えは、商に「余りを除数で割ったもの」を足した形で表します。これは、97を4で割った答えが24に1を4で割ったものを足した形になるのと同じです。

(x^2 + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1)

同じように検算できます。(x + 1)(x + 2) + 3を計算すると、x^2 + 3x + 5に戻ります。