立方和

2つの立方数の和も、符号を入れ替えて因数分解できます。

$${a}^{3}+{b}^{3} = \left(a+b\right)\left({a}^{2}-ab+{b}^{2}\right)$$

差の場合と比べてみましょう。短い括弧の符号は立方数の符号と同じで、長い括弧の真ん中の符号は反対、最後の項は常にプラスです。立方数には係数が付くことがあります。$27{x}^{3}+8$では、$27{x}^{3}$は${\left(3x\right)}^{3}$で、8は2の3乗なので、a = 3x、b = 2です。すると、aの2乗は$9{x}^{2}$、abは6xです。

$$27{x}^{3}+8 = \left(3x+2\right)\left(9{x}^{2}-6x+4\right)$$

平方の和とは異なり、立方の和には必ず実数の一次因子があります。${a}^{3}+{b}^{3}$ は a = -b のとき 0 になるので、$a+b$ は因子です。展開して確認しましょう。$-18{x}^{2}$ と $18{x}^{2}$ は相殺され、-12x と 12x も同様に相殺されます。