根の外側

今度は問いを逆に考えてみましょう。${x}^{2}-3x-10 \ge 0$は$\left(x-5\right)\left(x+2\right) \ge 0$と因数分解でき、積が正または0になるのはどこかを尋ねています。2つの因数が同じ符号のとき、積は正になります。そのため、符号の組み合わせは、両方の因数が0以上の場合と、両方が0以下の場合の2通りです。

両方が0以上の場合：$x \ge 5$かつ$x \ge -2$です。5以上の数はすべて両方の条件を満たすので、この場合は$x \ge 5$となります。両方が0以下の場合：$x \le 5$かつ$x \le -2$で、これは$x \le -2$となります。答えは2つの別々の範囲、つまり根の外側の数です：$x \le -2$または$x \ge 5$。

またはという言葉が重要です。-2以下かつ5以上の数は存在しないため、範囲をかつでつなぐと、何も表さなくなります。等号も重要です。-2と5では積が0になり、符号の条件を満たすため、両端とも答えに含まれます。