根の外側

今度は問いを逆に考えてみましょう。x^2 - 3x - 10 >= 0は(x - 5)(x + 2) >= 0と因数分解でき、積が正または0になるのはどこかを尋ねています。2つの因数が同じ符号のとき、積は正になります。そのため、符号の組み合わせは、両方の因数が0以上の場合と、両方が0以下の場合の2通りです。

両方が0以上の場合：x >= 5かつx >= -2です。5以上の数はすべて両方の条件を満たすので、この場合はx >= 5となります。両方が0以下の場合：x <= 5かつx <= -2で、これはx <= -2となります。答えは2つの別々の範囲、つまり根の外側の数です：x <= -2またはx >= 5。

またはという言葉が重要です。-2以下かつ5以上の数は存在しないため、範囲をかつでつなぐと、何も表さなくなります。等号も重要です。-2と5では積が0になり、符号の条件を満たすため、両端とも答えに含まれます。