立方差

${x}^{3}-64$はグループ分けできる項のペアはありませんが、パターンがあります。${x}^{3}$はxの3乗で、64は4の3乗です。2つの立方数の差は、どれも同じ方法で因数分解できます。

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

a = x、b = 4 とすると、${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$ となります。展開して、なぜ成り立つのかを確認しましょう。x に長い括弧内の式を掛けると ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$ となり、-4 を掛けると $-4{x}^{2}-16x-64$ となります。中間の項が打ち消し合い、${x}^{3}-64$ が残ります。

二次因子 ${x}^{2}+4x+16$ は実数の因数を持ちません。判別式 16 - 64 は負なので、2つの根は複素数です。そのため、${x}^{3}-64$ の実数解は 4 だけです。パターンを見つけられるように、立方数の 1、8、27、64、125 を覚えましょう。