立方差

x^3 - 64はグループ分けできる項のペアはありませんが、パターンがあります。x^3はxの3乗で、64は4の3乗です。2つの立方数の差は、どれも同じ方法で因数分解できます。

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

a = x、b = 4 とすると、x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16) となります。展開して、なぜ成り立つのかを確認しましょう。x に長い括弧内の式を掛けると x^3 + 4x^2 + 16x となり、-4 を掛けると -4x^2 - 16x - 64 となります。中間の項が打ち消し合い、x^3 - 64 が残ります。

二次因子 x^2 + 4x + 16 は実数の因数を持ちません。判別式 16 - 64 は負なので、2つの根は複素数です。そのため、x^3 - 64 の実数解は 4 だけです。パターンを見つけられるように、立方数の 1、8、27、64、125 を覚えましょう。