根の間

${x}^{2}-4x-5 < 0$を解くには、まず因数分解します。$\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$。ここで考えるのは符号です。2つの数の積が負になるのは、一方の因数が正で、もう一方が負のときに限られるため、符号のケースは2つあります。

ケース1：$x-5 > 0$かつ$x+1 < 0$なので、xは同時に5より大きく、-1より小さくなります。両方を満たす数はないため、このケースは空です。ケース2：$x-5 < 0$かつ$x+1 > 0$なので、xは5より小さく、-1より大きくなります。これは根の間にあるすべての数について成り立ち、次のように1つの不等式で表せます：$-1 < x < 5$。

答えは数直線上の区間全体であり、数のリストではありません。その区間内の値を1つ確認しましょう。x = 0 では因数は -5 と 1 で、その積は条件どおり負です。根そのものは含まれません。そこでの積は 0 であり、0 未満ではないからです。