分数の符号

分数が負になるのは、分子と分母の符号が反対の場合、つまり正の数を負の数で割る場合、または負の数を正の数で割る場合に限られます。$\frac{x-2}{x+5} < 0$を考えてみましょう。$x+5$の符号がわからず、負の数を掛けると不等号の向きが変わるため、数の場合のように両辺に$x+5$を掛けることはできません。

そこで、代わりに符号の場合分けをします。$x-2 > 0$かつ$x+5 < 0$の場合、または$x-2 < 0$かつ$x+5 > 0$の場合です。最初の場合は、xが2より大きく、同時に-5より小さいことを求めています。その両方を満たす数はないので、この場合は解なしです。2つ目の場合は、xが2より小さく、-5より大きいことを求めており、これは$-5 < x < 2$です。

確認のため、数を代入してみましょう。x = 0 では -2 over 5 となり、負なので範囲に含まれます。x = 3 では 1 over 8 となり、正なので範囲に含まれません。答えは -5 と 2 の間です。この2つの数では、分子または分母が 0 になります。