4乗式

x^4 - 17x^2 + 16 = 0は4次の難しい方程式のように見えますが、含まれているのはx^4とx^2だけで、x^4は(x^2)^2です。x^2を1つの未知数として見れば、これは2次方程式です。その未知数の2乗から17倍したものを引き、16を足しています。掛けて16、足して-17になる2つの数は-1と-16なので、因数分解すると(x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0となります。

それぞれの括弧は平方差なので、左辺は4つの因数に分解できます。(x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4)です。場合分けすると、答えは4つ、1、-1、4、-4となります。4次方程式の解は最大で4つで、この方程式はそのすべてを持っています。

すべての括弧が実数解を与えるわけではありません。x^4 - 21x^2 - 100 = 0は(x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0と因数分解でき、x^2 = -4には実数解がありません。実数の平方は負にならないからです。実数解は5と-5だけです。