4乗式

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$は4次の難しい方程式のように見えますが、含まれているのは${x}^{4}$と${x}^{2}$だけで、${x}^{4}$は${\left({x}^{2}\right)}^{2}$です。${x}^{2}$を1つの未知数として見れば、これは2次方程式です。その未知数の2乗から17倍したものを引き、16を足しています。掛けて16、足して-17になる2つの数は-1と-16なので、因数分解すると$\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$となります。

それぞれの括弧は平方差なので、左辺は4つの因数に分解できます。$\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$です。場合分けすると、答えは4つ、1、-1、4、-4となります。4次方程式の解は最大で4つで、この方程式はそのすべてを持っています。

すべての括弧が実数解を与えるわけではありません。${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$は$\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$と因数分解でき、${x}^{2} = -4$には実数解がありません。実数の平方は負にならないからです。実数解は5と-5だけです。