数ごとに1つの木

因数分解の木は、どんな因数の組から始めてもかまいません。48を考えてみましょう。ある木では、まず 6 × 8 に分け、次に6を 2 × 3 に、8を 2 × 4 に分け、さらに4を 2 × 2 に分けます。別の木では、最初に 4 × 12 に分けます。枝の形は異なりますが、どちらの木も同じ葉、つまり2が4つと3が1つ、2^4 × 3 で終わります。

いつもそうなります。1より大きいすべての整数は、素因数分解がただ1つに決まります。どんな木を描いても同じです。葉の順番だけは変わることがありますが、積の順番は関係ありません。ですから、最初に思いついた分け方から始めましょう。異なる素数に行き着くことはありません。

これが、素数が整数の構成要素と呼ばれる理由です。それぞれの数は固有の素数から作られ、別の素数の組み合わせを掛けても同じ数にはなりません。2人が同じ数を素因数分解して異なる素数を得た場合、どちらかが間違えています。