왜 지수는 곱해질까

지수가 곱해지는 이유는 곱셈 법칙이 동일한 복사본들에 적용되기 때문입니다. $\left(x^{2}\right)^{4}$은 $x^{2}$ 네 개를 서로 곱한 것입니다: $x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$. 네 복사본 모두 밑이 같으므로 곱셈 법칙에 따라 지수를 더합니다: $2+2+2+2 = 8$. 같은 수를 네 번 더하는 것은 그 수에 4를 곱하는 것과 같으며, 이는 $2\cdot 4$입니다.

따라서 거듭제곱의 거듭제곱 법칙은 곱셈 법칙에서 비롯됩니다. 거듭제곱의 동일한 복사본들에 곱셈 법칙을 적용하면, 반복되는 덧셈이 곱셈으로 바뀝니다.

결과는 $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$입니다. 같은 추론은 어떤 지수에도 적용됩니다. 각 복사본에 $m$개의 인수가 들어 있고 $n$개의 복사본이 있다면, 모두 합쳐 $mn$개의 인수가 있습니다.