Warum sich Exponenten multiplizieren

Die Exponenten werden multipliziert, weil die Produktregel auf identische Kopien angewendet wird. $\left(x^{2}\right)^{4}$ sind vier miteinander multiplizierte Kopien von $x^{2}$: $x^{2}x^{2}x^{2}x^{2}$. Alle vier Kopien haben dieselbe Basis, daher addiert die Produktregel die Exponenten: $2+2+2+2 = 8$. Dieselbe Zahl viermal zu addieren, ist dasselbe, wie sie mit 4 zu multiplizieren, also $2\cdot 4$.

Die Regel für eine Potenz einer Potenz ergibt sich also aus der Produktregel. Du wendest die Produktregel auf identische Kopien einer Potenz an, und die wiederholte Addition wird zu einer Multiplikation.

Das Ergebnis ist $\left(x^{2}\right)^{4} = x^{8}$. Die gleiche Überlegung gilt für beliebige Exponenten. Wenn jede Kopie $m$ Faktoren enthält und es $n$ Kopien gibt, gibt es insgesamt $mn$ Faktoren.