Warum Exponenten subtrahiert werden

Die Exponenten werden subtrahiert, weil sich die Faktoren paarweise aufheben. Um das zu sehen, schreibe $\frac{x^{6}}{x^{2}}$ vollständig aus: sechs Faktoren $x$ oben und zwei Faktoren $x$ unten. Der Bruch $\frac{x}{x}$ ist immer gleich 1, wenn $x$ nicht null ist. Jeder Faktor unten wird also mit einem Faktor oben gepaart, und das Paar wird zu einem Faktor 1. Die Multiplikation mit 1 verändert das Produkt nicht.

Zwei Paare heben sich auf, und oben bleiben vier Faktoren $x$ übrig, also gilt $\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{4}$. Die Subtraktion $6-2$ subtrahiert nicht die Werte der Potenzen. Sie zählt die Faktoren, die nach der Paarbildung übrig bleiben.

Dieselbe Zuordnung erklärt zwei Fälle, auf die du später stoßen wirst. Im einen Fall haben der Zähler und der Nenner dieselbe Anzahl an Faktoren. Im anderen Fall hat der Nenner mehr Faktoren als der Zähler. Beide werden im Kapitel über Exponenten mit dem Wert null und negative Exponenten behandelt.