Sumas geométricas

Suma $1+4+16+64$ con un truco. Llama S a la suma y después multiplica cada término por la razón 4: $4S = 4+16+64+256$. Las dos listas tienen en común 4, 16 y 64, así que al restar S de 4S se cancelan: $4S-S = 256-1$. Eso da $3S = 255$, así que S es 85.

La misma resta funciona para cualquier sucesión geométrica y da la suma de sus primeros n términos:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Aquí n cuenta los términos, así que la potencia es ${r}^{n}$, no ${r}^{n-1}$. Compruébalo: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ es -255 dividido entre -3, lo que da 85. La fórmula solo falla cuando r es 1, cuando su denominador es 0; después, todos los términos son iguales y la suma es n veces el primero.