La regla del producto

Tomemos $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Como $9 = {3}^{2}$ y $27 = {3}^{3}$, el producto es ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, que es ${3}^{5}$: los exponentes se suman cuando se multiplican potencias. Así que el logaritmo es 5, que es 2 más 3, el logaritmo de 9 más el logaritmo de 27. Esa es la regla del producto:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Se cumple para cualquier M y N positivos, por la misma razón. Los logaritmos son exponentes: si M es b elevado a la potencia p y N es b elevado a la potencia q, entonces MN es b elevado a la potencia $p+q$. Así que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos.

La regla es más útil cuando uno de los factores es una letra. Para x positivo, $\log_{3}\left(9x\right)$ se convierte en $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, y $\log_{3}\left(9\right)$ es 2, así que queda $2+\log_{3}\left(x\right)$.