La regla de la potencia

Tomemos $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Como $8 = {2}^{3}$, la potencia es ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, que es ${2}^{6}$: una potencia de una potencia multiplica los exponentes. Así que el logaritmo es 6, que es 2 por 3, el exponente por el logaritmo de 8. Esa es la regla de la potencia:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Se cumple para M positivo, y el exponente pasa delante del logaritmo. La razón: si M es b elevado a la potencia p, entonces M elevado a la potencia k es b elevado a la potencia kp. También puedes verlo como la regla del producto repetida: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ es el logaritmo de M por M por M, es decir, tres logaritmos de M sumados.

Con una letra, fíjate en el signo. Para x > 0, $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ se convierte en $4\log_{3}\left(x\right)$. En x = -1, el lado izquierdo es $\log_{3}\left(1\right)$, que es 0, pero $\log_{3}\left(-1\right)$ no tiene valor, así que la regla requiere que x sea positivo. La regla funciona en cualquier base, incluida la base 10.