Potencias de i

Multiplica i por sí mismo una y otra vez. ${i}^{1} = i$ y ${i}^{2} = -1$. Después, ${i}^{3} = {i}^{2}\cdot i = -i$, y ${i}^{4} = {i}^{2}\cdot {i}^{2}$, que es -1 por -1, así que da 1. Un factor más hace que el ciclo empiece de nuevo: ${i}^{5} = {i}^{4}\cdot i = i$. Las potencias recorren cuatro valores en un ciclo que se repite para siempre: i, -1, -i, 1.

Así que, para una potencia grande, divide el exponente entre 4 y quédate con el resto. Para ${i}^{23}$: $23 = 4\cdot 5+3$, así que ${i}^{23} = {\left({i}^{4}\right)}^{5}\cdot {i}^{3}$, que es 1 por -i, o sea, -i. Si el resto es 1, el resultado es i; si es 2, es -1; si es 3, es -i; y si es 0, es 1.

¿Por qué 4? Porque ${i}^{4} = 1$, y multiplicar por 1 no cambia nada, así que cada grupo de cuatro i se elimina. Por eso ${i}^{40} = 1$: 40 es 4 multiplicado por 10, y no queda ningún i.