El área más grande

Parte de la sección Funciones cuadráticas y números complejos del Journey de Algebra 2 de Coddy. Lección 41 de 48.

Tienes 40 metros de valla para rodear por completo un rectángulo. Si el ancho es w, los dos anchos y los dos largos suman 40, así que un ancho y un largo suman 20. El largo es $20-w$ , y el área es $A\left(w\right) = w\left(20-w\right)$ .

¿Qué ancho ofrece más espacio? Al desarrollar, $A\left(w\right) = -{w}^{2}+20w$ : una parábola que se abre hacia abajo, así que su vértice corresponde al área máxima. Sus ceros son w = 0 y w = 20, donde el rectángulo es plano y no tiene área. El vértice está justo a medio camino entre ellos, en w = 10, y $A\left(10\right) = 10\left(10\right)$ , que son 100 metros cuadrados.

El mejor rectángulo es un cuadrado de 10 por 10. No es casualidad: para una longitud fija de valla, un cuadrado siempre encierra la mayor área de todos los rectángulos.

Desafío

Un agricultor tiene 60 metros de cerca para un corral rectangular. Un corral de $30-w$ metros de largo tiene $30-w$ metros de ancho, así que su área es $A\left(w\right) = w\left(30-w\right)$ metros cuadrados. Encuentra el área máxima A. En el tablero en blanco, escribe primero el mejor ancho como una línea w = ..., después el área como una línea A = ... .