1 + tan²x = sec²x

Divide cada término de ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ entre ${\cos\left(x\right)}^{2}$. Después, $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ es ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ es 1, y $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ es ${\sec\left(x\right)}^{2}$. Esto da una segunda identidad.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Es verdadera siempre que cos x no sea 0. Resta 1 de ambos lados: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Así que $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ es $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, que es tan x.