tan(A + B) y tan(A - B)

Parte de la sección Identidades trigonométricas del Journey de Trigonometry de Coddy. Lección 30 de 52.

Divide sin(A + B) por cos(A + B), después divide el numerador y el denominador por cos A cos B, y las fórmulas de la tangente quedan expresadas únicamente en tangentes:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

Necesitan que tan A y tan B existan (ninguno de los ángulos es 90° más un número entero de medias vueltas) y que el denominador no sea 0. Arriba el signo sigue el del ángulo; abajo es el opuesto. Para 75° como 45° + 30°, con tan 45° = 1 y tan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

Una raíz en el denominador se elimina multiplicando el numerador y el denominador por su conjugado, aquí 3 + √3: el denominador se convierte en 9 - 3 = 6, el numerador (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), y tan(75°) = 2 + √(3).

Desafío

Encuentra el valor exacto de tan(45° + 60°), que es tan 105°: usa la fórmula, elimina la raíz del denominador y simplifica hasta que el tablero muestre un número entero y una raíz. Después, pulsa Check.

Pruébalo tú mismo

tan(45° + 60°)

Simplifica la expresión