tan(A + B) y tan(A - B)

Divide sin(A + B) por cos(A + B), después divide el numerador y el denominador por cos A cos B, y las fórmulas de la tangente quedan expresadas únicamente en tangentes:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

Necesitan que tan A y tan B existan (ninguno de los ángulos es 90° más un número entero de medias vueltas) y que el denominador no sea 0. Arriba el signo sigue el del ángulo; abajo es el opuesto. Para 75° como 45° + 30°, con tan 45° = 1 y $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Una raíz en el denominador se elimina multiplicando el numerador y el denominador por su conjugado, aquí 3 + √3: el denominador se convierte en 9 - 3 = 6, el numerador ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, y $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.