Une fausse solution
Fait partie de la section Radicaux et exposants rationnels du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 27 sur 43.
Élever au carré fait se ressembler deux nombres différents : -3 et 3 ne sont pas égaux, mais leurs carrés valent tous deux 9. Ainsi, élever au carré peut transformer une équation fausse en une équation vraie, et l’équation obtenue peut avoir des solutions qui ne vérifient pas l’équation initiale.
Prenons √(x + 6) = x. En élevant au carré, on obtient x + 6 = x^2, donc x^2 - x - 6 = 0, qui se factorise ainsi : (x - 3)(x + 2) = 0. Les candidats sont 3 et -2. Vérifions chacun dans l’équation initiale. Pour 3 : √(9) vaut 3, et le membre de droite vaut 3. C’est vrai. Pour -2 : √(4) vaut 2, mais le membre de droite vaut -2. C’est faux. On rejette donc -2, et la seule solution est 3.
Une solution candidate obtenue au cours de la résolution mais rejetée par l’équation originale est une solution parasite (les manuels disent « solution étrangère »). Ce n’est pas une erreur d’algèbre : c’est l’élévation au carré qui l’a introduite. C’est pourquoi chaque solution candidate est vérifiée dans l’équation originale, jamais dans l’équation élevée au carré, où les deux sont vérifiées.
Défi
Résous √(x + 7) = x - 5. En élevant au carré, on obtient deux candidats : vérifie-les tous les deux dans l’équation d’origine et ne garde que celui qui convient.
Essayez vous-même
Isole x
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1Simplifier les radicaux
Racines et puissancesFacteurs carrés parfaitsLe plus grand carréLes lettres sous le radicalRacines cubiquesRévision : simplifier les radicaux4Rationalisation
Une racine au dénominateurUn nombre et une racineLe conjugué au dénominateurRécapitulatif : rationaliser7Équations avec puissances et racines
Puissances impairesPuissances pairesPuissances fractionnairesPuissance deux tiersRécapitulatif : équations de puissance2Addition et soustraction de radicaux
Radicaux semblablesSimplifier d’abordSoustraireRécapitulatif : addition de radicaux3Multiplier des radicaux
Racine fois racineDistribuer une racineDeux parenthèsesPaires de conjuguésRécapitulatif : multiplier des radicaux6Équations avec des radicaux
Élever les deux membres au carréIsoler d’abord la racineUne fausse solutionÉquations avec des racines cubiquesRécapitulatif : équations avec des radicaux