Réciproque du carré

Fait partie de la section Radicaux et exposants rationnels du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 34 sur 40.

La règle $f\left(x\right) = {x}^{2}$ n’a pas d’inverse telle quelle. 2 et -2 donnent tous deux 4, donc une question portant sur l’inverse de 4 nécessiterait deux réponses. La solution consiste à restreindre f aux valeurs d’entrée $x \ge 0$ . Ainsi, chaque valeur de sortie provient d’une seule valeur d’entrée.

Considérons $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ pour $x \ge 0$ . Échangeons x et y comme d’habitude : $x = {y}^{2}-3$ . Résolvons pour y : en faisant passer le -3 de l’autre côté, on obtient $x+3 = {y}^{2}$ , et en prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient deux réponses, $y = \sqrt{x+3}$ et $y = -\sqrt{x+3}$ .

La restriction en choisit une. Les sorties de la fonction réciproque sont les entrées de f, et celles-ci sont supérieures ou égales à 0. La racine négative donne des sorties négatives, donc on obtient : ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Vérifions : f(2) vaut 1, et la fonction réciproque associe 1 à $\sqrt{4}$ , qui vaut 2. Sur un domaine restreint, la fonction réciproque d’un carré est une racine carrée.

Défi

Trouvez l’inverse de $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ pour $x \ge 0$ . L’équation obtenue en échangeant les variables est inscrite au tableau : $x = {y}^{2}+1$ . Écrivez vous-même les lignes : d’abord le carré seul, puis y. Comme f n’accepte que des entrées $x \ge 0$ , son inverse ne donne que des sorties supérieures ou égales à 0 ; gardez donc uniquement la racine positive.