Réciproque du carré

Fait partie de la section Radicaux et exposants rationnels du Journey Algebra 2 de Coddy. Leçon 37 sur 43.

La règle f(x) = x^2 n’a pas d’inverse telle quelle. 2 et -2 donnent tous deux 4, donc une question portant sur l’inverse de 4 nécessiterait deux réponses. La solution consiste à restreindre f aux valeurs d’entrée x >= 0. Ainsi, chaque valeur de sortie provient d’une seule valeur d’entrée.

Considérons f(x) = x^2 - 3 pour x >= 0. Échangeons x et y comme d’habitude : x = y^2 - 3. Résolvons pour y : en faisant passer le -3 de l’autre côté, on obtient x + 3 = y^2, et en prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient deux réponses, y = √(x + 3) et y = -√(x + 3).

La restriction en choisit une. Les sorties de la fonction réciproque sont les entrées de f, et celles-ci sont supérieures ou égales à 0. La racine négative donne des sorties négatives, donc on obtient : f^-1(x) = √(x + 3). Vérifions : f(2) vaut 1, et la fonction réciproque associe 1 à √(4), qui vaut 2. Sur un domaine restreint, la fonction réciproque d’un carré est une racine carrée.

Défi

Trouvez l’inverse de f(x) = x^2 + 1 pour x >= 0. L’équation obtenue en échangeant les variables est inscrite au tableau : x = y^2 + 1. Écrivez vous-même les lignes : d’abord le carré seul, puis y. Comme f n’accepte que des entrées x >= 0, son inverse ne donne que des sorties supérieures ou égales à 0 ; gardez donc uniquement la racine positive.

Essayez vous-même

x = y^2 + 1

Isole y