Un sur n

Jusqu’à présent, les exposants étaient des nombres entiers. Pour donner un sens à ${49}^{\frac{1}{2}}$, conservons la règle d’une puissance d’une puissance, qui multiplie les exposants : ${\left({49}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2} = {49}^{1}$. Ainsi, ${49}^{\frac{1}{2}}$ est un nombre dont le carré vaut 49 et, comme le symbole de racine, il désigne le nombre non négatif : $\sqrt{49}$, qui vaut 7.

La même règle s’applique à tout n : ${a}^{\frac{1}{n}}$ est la racine n-ième de a, le nombre dont la puissance n-ième vaut a. Si n est pair, a ne doit pas être négatif, et la racine est la racine non négative. Une puissance de 1/3 est une racine cubique, ${125}^{\frac{1}{3}} = cbrt\left(125\right) = 5$, car ${5}^{3} = 125$. Une puissance de 1/4 est une racine quatrième, ${10000}^{\frac{1}{4}} = 10$, car ${10}^{4} = 10000$.

Pourquoi écrire les racines sous forme de puissances ? Parce qu’ainsi, toutes les règles sur les exposants que tu connais déjà s’appliquent aussi aux racines, et le reste de ce chapitre utilise exactement cela. Le dénominateur de la fraction est l’indice de la racine : 2 pour une racine carrée, 3 pour une racine cubique.