Puissances fractionnaires

Pour x non négatif, une puissance fractionnaire est annulée par sa puissance réciproque, car les puissances de puissances se multiplient : 3/2 multiplié par 2/3 donne 1. Prenons ${x}^{\frac{3}{2}} = 64$. Élevons les deux côtés à la puissance 2/3 : x vaut ${64}^{\frac{2}{3}}$. La racine cubique de 64 est 4, et 4 au carré vaut 16, donc x vaut 16.

Vérifiez : ${16}^{\frac{3}{2}}$ est la racine carrée de 16, élevée au cube, ce qui donne 4 au cube, soit 64. Cette vérification est importante parce que le dénominateur de 3/2 est pair. ${x}^{\frac{3}{2}}$ équivaut à ${\left(\sqrt{x}\right)}^{3}$, et annuler une racine carrée signifie élever au carré, ce qui masque un signe. Prenons ${x}^{\frac{1}{2}} = -6$ : élever les deux côtés au carré donne x = 36, mais ${36}^{\frac{1}{2}}$ vaut 6, et non -6. Donc 36 est une fausse réponse, et cette équation n’a aucune solution.