Une racine au dénominateur

Regarde $\frac{6}{\sqrt{3}}$. C’est un nombre tout à fait valable, mais pour en obtenir une valeur approchée, il faudrait diviser 6 par 1.732 à la main. Il y a donc une convention : ne pas laisser de racines au dénominateur d’une fraction. Réécrire une fraction pour que son dénominateur ne contienne aucune racine s’appelle rationaliser le dénominateur, car le dénominateur devient un nombre rationnel.

L’outil est un fait vu dans le dernier chapitre : une racine multipliée par elle-même donne le nombre sous la racine, $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} = 3$. Multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$. Cela revient à multiplier par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$, ce qui vaut 1 ; la valeur ne change donc pas :

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$

Maintenant, simplifie par 3 dans 6, et la réponse est $2\sqrt{3}$. Pourquoi s’embêter ? Un dénominateur entier est plus facile à utiliser : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ est la moitié de 1.414, ce que tu peux calculer de tête, tandis que $\frac{1}{\sqrt{2}}$ est le même nombre, mais t’oblige à diviser par 1.414. Une forme convenue permet aussi de comparer facilement les réponses : $\frac{5}{\sqrt{5}}$ et $\sqrt{5}$ semblent différents, et la rationalisation montre qu’ils sont égaux.