Puissance deux tiers

Dans ${x}^{\frac{2}{3}}$, le numérateur de l’exposant est pair : ${x}^{\frac{2}{3}}$ correspond à ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, la racine cubique de x, au carré. Un carré masque un signe, donc deux nombres peuvent avoir cette même puissance. Prenons ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. La racine cubique de 27 est 3, et 3 au carré vaut 9, donc 27 convient. La racine cubique de -27 est -3, et ${\left(-3\right)}^{2}$ vaut aussi 9, donc -27 convient également.

Pour résoudre cette équation, élevons les deux membres à la puissance 3/2. Le membre de droite devient 27, le nombre positif dont la puissance 2/3 vaut 9, comme ci-dessus. Le membre de gauche ne devient pas x : la puissance 2/3 a effacé le signe de x, et la puissance 3/2 prend une racine carrée, qui ne peut pas rétablir le signe. Le membre de gauche devient donc $\left|x\right|$ :

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ signifie que x = 27 ou x = -27, de la même manière que ${x}^{2} = 9$ donne 3 et -3.

Deux vérifications rapides découlent de la même représentation. Le dénominateur, 3, est impair, donc la racine cubique accepte n’importe quel nombre et aucune des deux réponses ne doit être rejetée. Le numérateur, 2, est pair, donc la puissance n’est jamais négative : ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ n’a pas de solution réelle.