m sur n

Une puissance comme ${25}^{\frac{3}{2}}$ a deux rôles. Décompose l’exposant : 3/2 correspond à 1/2 multiplié par 3, donc, selon la règle de la puissance d’une puissance, ${25}^{\frac{3}{2}} = {\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3}$. Le dénominateur de la fraction indique quelle racine prendre, et le numérateur indique à quelle puissance l’élever.

$${25}^{\frac{3}{2}} = {\left({25}^{\frac{1}{2}}\right)}^{3} = {5}^{3} = 125$$

En général, pour un nombre non négatif, ${a}^{\frac{m}{n}} = {\left({a}^{\frac{1}{n}}\right)}^{m}$ : on calcule d’abord la racine n-ième, puis la puissance m. On pourrait calculer la puissance d’abord, ${25}^{3} = 15625$, puis prendre la racine carrée de 15625. On obtient aussi 125, puisque les deux ordres aboutissent au même exposant. Mais calculer d’abord la racine permet de garder des nombres assez petits pour faire le calcul de tête.