Das 30-60-90-Dreieck

Teil des Abschnitts Dreiecke der Geometry-Journey von Coddy. Lektion 47 von 71.

Schneide ein gleichseitiges Dreieck entlang seiner Höhe in zwei Hälften. Jede Hälfte ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 30°, 60° und 90°. Ein Dreieck mit diesen Winkeln wird als 30-60-90-Dreieck bezeichnet. Seine Hypotenuse ist eine vollständige Seite des gleichseitigen Dreiecks, und seine kurze Kathete ist halb so lang wie eine Seite. Die Hypotenuse ist also doppelt so lang wie die kurze Kathete.

$Ein gleichseitiges Dreieck mit Seiten der Länge 2x, durch seine gestrichelte Höhe halbiert; eine Hälfte hat die Winkel 30, 60 und 90 Grad sowie eine kurze Kathete der Länge x$

Eine Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2x: Die kurze Kathete ist x und die Hypotenuse ist 2x

Die lange Kathete ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Der Satz des Pythagoras liefert ihre Länge. Bei der kurzen Kathete x und der Hypotenuse 2x ist die lange Kathete √((2x)^2 - x^2) = √(3x^2) = x √(3). Die drei Seiten sind also x, x √(3) und 2x. Die kurze Kathete liegt dem 30°-Winkel gegenüber, und die lange Kathete liegt dem 60°-Winkel gegenüber.

$Ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkeln von 30 und 60 Grad, seiner kurzen Kathete x, seiner langen Kathete x mal der Wurzel aus 3 und seiner Hypotenuse 2x$