縦長と横平

関数全体に掛ける数は、位置ではなく高さを変えます。$y = 3f\left(x\right)$ と $f\left(x\right) = {x}^{2}$ を考えてみましょう。f のすべての出力が 3 倍になります。頂点 (0, 0) はそのままです。3 に 0 を掛けても 0 だからです。しかし、右に 1 進んだところでは、f の値が 1 なので、新しいグラフの値は 3 になります。点 (1, 1) は (1, 3) になります。

高さをすべて 3 倍にすると、曲線は 3 倍の速さで上昇します。

つまり、曲線はより狭くなります。0から1の間の係数は逆の効果をもたらします。$y = \frac{1}{2}f\left(x\right)$は高さをすべて半分にし、頂点から1ステップ進んだ点では高さが1/2だけ上がるため、より平坦に見えます。

つまり、2つの点で曲線が決まります。頂点は曲線の位置を示し、その右に1ステップ進んだ点は、どれくらいの速さで上昇するかを示します。$y = af\left(x\right)$では、その点は頂点よりaだけ上にあり、1だけ上ではありません。