Eine Scheinlösung

Teil des Abschnitts Wurzeln und rationale Exponenten der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 27 von 43.

Durch Quadrieren sehen zwei verschiedene Zahlen gleich aus: -3 und 3 sind nicht gleich, aber ihre Quadrate sind beide 9. Durch Quadrieren kann also eine falsche Gleichung in eine wahre verwandelt werden, und die quadrierte Gleichung kann Lösungen haben, die die ursprüngliche nicht hat.

Nehmen wir √(x + 6) = x. Durch Quadrieren erhalten wir x + 6 = x^2, also x^2 - x - 6 = 0, was sich faktorisieren lässt zu (x - 3)(x + 2) = 0. Die Kandidaten sind 3 und -2. Überprüfe beide in der ursprünglichen Gleichung. Für 3: √(9) ist 3, und die rechte Seite ist 3. Wahr. Für -2: √(4) ist 2, aber die rechte Seite ist -2. Falsch. Also wird -2 verworfen, und die einzige Lösung ist 3.

Ein Wert, den das Umformen hervorbringt, den die ursprüngliche Gleichung aber nicht zulässt, ist eine Scheinlösung (in Lehrbüchern heißt sie auch überflüssige Lösung). Das ist kein Fehler in deiner Algebra: Durch das Quadrieren ist sie hinzugekommen. Deshalb wird jeder Kandidat in der ursprünglichen Gleichung überprüft, niemals in der quadrierten, in der beide Lösungen erfüllen.

Aufgabe

Löse √(x + 7) = x - 5. Durch Quadrieren erhältst du zwei Kandidaten: Überprüfe beide in der ursprünglichen Gleichung und behalte nur denjenigen, der funktioniert.

Probier es selbst

sqrt(x + 7) = x - 5

x isolieren