Zweidrittelpotenz

Bei x^(2/3) ist der Zähler des Exponenten gerade: x^(2/3) ist (cbrt(x))^2, die Kubikwurzel von x zum Quadrat. Beim Quadrieren geht das Vorzeichen verloren, daher können zwei Zahlen dieselbe Potenz ergeben. Betrachte x^(2/3) = 9. Die Kubikwurzel von 27 ist 3, und 3 zum Quadrat ist 9, also ist 27 eine Lösung. Die Kubikwurzel von -27 ist -3, und (-3)^2 ist ebenfalls 9, also ist auch -27 eine Lösung.

Um die Gleichung zu lösen, potenziere beide Seiten mit 3/2. Die rechte Seite ergibt 27, die positive Zahl, deren Potenz mit 2/3 gleich 9 ist, wie oben. Die linke Seite ergibt nicht x: Die Potenz 2/3 hat das Vorzeichen von x wegquadriert, und die Potenz 3/2 zieht eine Quadratwurzel, die das Vorzeichen nicht zurückbringen kann. Die linke Seite ergibt also |x|:

(x^(2/3))^(3/2) = |x|

|x| = 27 bedeutet x = 27 oder x = -27, genauso wie x^2 = 9 3 und -3 ergibt.

Zwei schnelle Tests ergeben sich aus derselben Darstellung. Der Nenner, 3, ist ungerade, daher kann die Kubikwurzel jede Zahl annehmen und keine der beiden Lösungen muss verworfen werden. Der Zähler, 2, ist gerade, daher ist die Potenz nie negativ: x^(2/3) = -9 hat keine reelle Lösung.