Potenzgesetze gelten weiterhin

Die Regeln, die du für Exponenten mit ganzzahligen Exponenten gelernt hast, gelten auch für Brüche, solange die Basis positiv ist. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden die Exponenten addiert: ${x}^{\frac{1}{3}}\cdot {x}^{\frac{2}{3}} = {x}^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} = {x}^{1}$, was einfach x ergibt.

Das stimmt mit der Bedeutung der Potenzen überein. ${x}^{\frac{1}{3}}$ ist die dritte Wurzel aus x, also sollten drei davon multipliziert wieder x ergeben: ${x}^{\frac{1}{3}}\cdot {x}^{\frac{1}{3}}\cdot {x}^{\frac{1}{3}} = {x}^{\frac{3}{3}}$, was x ergibt. Auf dieselbe Weise gilt $\sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = {x}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$, was x ergibt.

Die anderen Regeln gelten genauso. Beim Dividieren werden die Exponenten subtrahiert, $\frac{{x}^{\frac{5}{4}}}{{x}^{\frac{1}{4}}} = {x}^{\frac{4}{4}}$, und bei einer Potenz einer Potenz werden sie multipliziert, ${\left({x}^{\frac{1}{3}}\right)}^{9} = {x}^{3}$. Addiere oder subtrahiere die Brüche mit einem gemeinsamen Nenner und vereinfache sie anschließend: Ein Exponent von 4/4 ist 1.