1 durch n

Bisher waren Exponenten ganze Zahlen. Um ${49}^{\frac{1}{2}}$ eine Bedeutung zu geben, behalte die Regel für eine Potenz einer Potenz bei, nach der die Exponenten multipliziert werden: ${\left({49}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2} = {49}^{1}$. Also ist ${49}^{\frac{1}{2}}$ eine Zahl, deren Quadrat 49 ist, und wie beim Wurzelzeichen ist damit die nichtnegative gemeint: $\sqrt{49}$, also 7.

Dasselbe gilt für jedes n: ${a}^{\frac{1}{n}}$ ist die n-te Wurzel aus a, also die Zahl, deren n-te Potenz a ist. Bei einem geraden n darf a nicht negativ sein, und die Wurzel ist die nichtnegative. Eine Potenz mit Exponent 1/3 ist eine Kubikwurzel, ${125}^{\frac{1}{3}} = cbrt\left(125\right) = 5$, denn ${5}^{3} = 125$. Eine Potenz mit Exponent 1/4 ist eine vierte Wurzel, ${10000}^{\frac{1}{4}} = 10$, denn ${10}^{4} = 10000$.

Warum schreibt man Wurzeln überhaupt als Potenzen? Weil dann jede Exponentenregel, die du bereits kennst, auch für Wurzeln gilt, und der Rest dieses Kapitels genau das nutzt. Der Nenner des Bruchs ist der Wurzelexponent: 2 für eine Quadratwurzel, 3 für eine Kubikwurzel.