Konjugierte Paare

Multipliziere $\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)$. Die vier Produkte sind 16, $4\sqrt{3}$, $-4\sqrt{3}$ und -3. Die beiden mittleren Terme sind Gegenteile und heben sich auf, also bleibt 16 minus 3 übrig, also 13. Es bleibt keine Wurzel übrig.

Das passiert immer. Die Klammern $a-\sqrt{b}$ und $a+\sqrt{b}$ unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen zwischen ihren Termen; sie werden konjugierte Ausdrücke genannt. Ihr Produkt ist eine Differenz von Quadraten:

$$\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right) = {a}^{2}-b$$

Das ist der Grund, warum konjugierte Ausdrücke wichtig sind: Wenn a und b ganze Zahlen sind, machen sie aus einem Ausdruck mit einer Wurzel eine ganze Zahl. Im nächsten Kapitel erfährst du, wie sich so eine Wurzel aus dem Nenner eines Bruchs entfernen lässt.