Umkehrung des Quadrierens

Teil des Abschnitts Wurzeln und rationale Exponenten der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 34 von 40.

Die Regel $f\left(x\right) = {x}^{2}$ hat in ihrer jetzigen Form keine Umkehrfunktion. Sowohl 2 als auch -2 ergeben 4, daher müsste eine Umkehrfunktion, nach der für 4 gefragt wird, zwei Antworten liefern. Die Lösung besteht darin, den Definitionsbereich von f auf Eingaben $x \ge 0$ einzuschränken. Dann stammt jede Ausgabe nur von einer Eingabe.

Betrachte $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ für $x \ge 0$ . Vertausche wie üblich x und y: $x = {y}^{2}-3$ . Löse nach y auf: Wenn man -3 auf die andere Seite bringt, erhält man $x+3 = {y}^{2}$ , und das Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt zwei Antworten: $y = \sqrt{x+3}$ und $y = -\sqrt{x+3}$ .

Die Einschränkung wählt eine aus. Die Ausgabewerte der Umkehrfunktion sind die Eingabewerte von f, und diese sind mindestens 0. Die negative Wurzel ergibt negative Ausgabewerte, daher gilt: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Überprüfe es: f(2) ist 1, und die Umkehrfunktion bildet 1 auf $\sqrt{4}$ ab, also auf 2. Auf einem eingeschränkten Definitionsbereich ist die Umkehrfunktion einer quadrierten Funktion eine Quadratwurzel.

Aufgabe

Finde die Umkehrfunktion von $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ für $x \ge 0$ . Auf der Tafel steht die vertauschte Gleichung $x = {y}^{2}+1$ . Schreibe die Zeilen selbst: zuerst das Quadrat allein, dann y. Da f nur Eingaben $x \ge 0$ annimmt, liefert ihre Umkehrfunktion nur Ausgaben von mindestens 0, also behalte nur die positive Wurzel bei.