Umkehrung des Quadrierens

Teil des Abschnitts Wurzeln und rationale Exponenten der Algebra 2-Journey von Coddy. Lektion 37 von 43.

Die Regel f(x) = x^2 hat in ihrer jetzigen Form keine Umkehrfunktion. Sowohl 2 als auch -2 ergeben 4, daher müsste eine Umkehrfunktion, nach der für 4 gefragt wird, zwei Antworten liefern. Die Lösung besteht darin, den Definitionsbereich von f auf Eingaben x >= 0 einzuschränken. Dann stammt jede Ausgabe nur von einer Eingabe.

Betrachte f(x) = x^2 - 3 für x >= 0. Vertausche wie üblich x und y: x = y^2 - 3. Löse nach y auf: Wenn man -3 auf die andere Seite bringt, erhält man x + 3 = y^2, und das Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt zwei Antworten: y = √(x + 3) und y = -√(x + 3).

Die Einschränkung wählt eine aus. Die Ausgabewerte der Umkehrfunktion sind die Eingabewerte von f, und diese sind mindestens 0. Die negative Wurzel ergibt negative Ausgabewerte, daher gilt: f^-1(x) = √(x + 3). Überprüfe es: f(2) ist 1, und die Umkehrfunktion bildet 1 auf √(4) ab, also auf 2. Auf einem eingeschränkten Definitionsbereich ist die Umkehrfunktion einer quadrierten Funktion eine Quadratwurzel.

Aufgabe

Finde die Umkehrfunktion von f(x) = x^2 + 1 für x >= 0. Auf der Tafel steht die vertauschte Gleichung x = y^2 + 1. Schreibe die Zeilen selbst: zuerst das Quadrat allein, dann y. Da f nur Eingaben x >= 0 annimmt, liefert ihre Umkehrfunktion nur Ausgaben von mindestens 0, also behalte nur die positive Wurzel bei.

Probier es selbst

x = y^2 + 1

y isolieren