Une réponse fausse

Résous ln(x) + ln(x + 4) = ln(5). Regroupe les logarithmes de gauche en ln(x(x + 4)), égalise les expressions à l’intérieur, et tu obtiens x^2 + 4x - 5 = 0, qui se factorise en (x + 5)(x - 1) = 0. Les solutions candidates sont 1 et -5.

Essaie -5 dans l’équation regroupée : cela semble fonctionner, car x(x + 4) vaut -5 fois -1, soit 5. Essaie cette valeur dans l’équation d’origine, et elle ne fonctionne pas du tout, puisque ln(-5) n’a pas de valeur. Ainsi, -5 est une fausse solution, aussi appelée solution extraneous, et seule x = 1 reste valable.

D’où cela vient-il ? L’expression d’origine exige que chaque entrée soit positive : x et x + 4 doivent toutes deux être supérieures à 0. Le logarithme regroupé exige seulement que leur produit soit positif, et deux nombres négatifs donnent aussi un résultat positif. Le regroupement des logarithmes a assoupli la règle, si bien que l’équation quadratique a admis une réponse que l’expression d’origine n’autorisait jamais. C’est pourquoi la vérification revient toujours à l’équation d’origine, jamais à une ligne que tu as créée.