Une réponse fausse

Résous $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. Regroupe les logarithmes de gauche en $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, égalise les expressions à l’intérieur, et tu obtiens ${x}^{2}+4x-5 = 0$, qui se factorise en $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. Les solutions candidates sont 1 et -5.

Essaie -5 dans l’équation regroupée : cela semble fonctionner, car $x\left(x+4\right)$ vaut -5 fois -1, soit 5. Essaie cette valeur dans l’équation d’origine, et elle ne fonctionne pas du tout, puisque $\ln\left(-5\right)$ n’a pas de valeur. Ainsi, -5 est une fausse solution, aussi appelée solution extraneous, et seule x = 1 reste valable.

D’où cela vient-il ? L’expression d’origine exige que chaque entrée soit positive : x et $x+4$ doivent toutes deux être supérieures à 0. Le logarithme regroupé exige seulement que leur produit soit positif, et deux nombres négatifs donnent aussi un résultat positif. Le regroupement des logarithmes a assoupli la règle, si bien que l’équation quadratique a admis une réponse que l’expression d’origine n’autorisait jamais. C’est pourquoi la vérification revient toujours à l’équation d’origine, jamais à une ligne que tu as créée.