Combiner, puis annuler

$\log_{6}\left(x\right)+\log_{6}\left(x-1\right) = 1$ comporte deux logarithmes, et l’opération inverse ne fonctionne que sur l’un d’eux. Il faut donc d’abord les réunir avec la propriété du produit, valable lorsque les deux arguments sont positifs : $\log_{6}\left(x\right)+\log_{6}\left(x-1\right) = \log_{6}\left(x\left(x-1\right)\right)$.

Il n’y a maintenant plus qu’un seul logarithme, et élever les deux membres à la puissance 6 permet de l’éliminer : $x\left(x-1\right) = 6$, une équation quadratique ordinaire. Développez, faites passer le 6 de l’autre côté et factorisez : $\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$, donc x vaut 3 ou -2.

Ce ne sont que des candidats. Remplace chacun dans l’équation d’origine. Avec x = 3, les entrées sont 3 et 2, toutes deux positives, et $\log_{6}\left(3\right)+\log_{6}\left(2\right)$ est $\log_{6}\left(6\right)$, ce qui vaut 1. Avec x = -2, la première entrée est -2, et le logarithme d’un nombre négatif n’a pas de valeur, donc -2 est rejeté. Le coup du tableau Vérifie x = ... dans l’équation d’origine effectue ce test pour chaque candidat.